Navigation dans l'œuvre de Paul Le Bohec, pour une école réparatrice de destins
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Entendre sous cet angle

Je me suis souvent demandé en méthode naturelle de mathématique :
« Qu’est-ce qui serait possible auquel on ne pense pas ? »

Et j’attendais que des expérimentateurs, des ouvreurs de pistes agrandissent nos horizons. Mais non, espoir vain, il faut que nous nous en remettions à nous-mêmes. Dans mon optique, le rôle du maître, c’est de proposer parfois un pas de plus. Mais je n’ai aucun écho de ces pas. Alors que je suis persuadé qu’on pourrait aller beaucoup plus loin dans la formation de mathématiciens.

On cite à grand bruit le cas « extraordinaire » d’enfants surdoués – qui ne sont souvent, en fait, que des enfants surbachotés. – Je suis persuadé que sans grand arroi, on pourrait de notre côté augmenter le nombre de bons, non, d’heureux en math qui accéderaient ainsi à la bémathitude. Que nous manque-t-il pour cela ? Une meilleure formation mathématique ? Peut-être, mais surtout une meilleure auto-formation, co-formation pédagogique à coups d’expériences communiquées et versées dans notre creuset de recherche.

J’en reviens toujours à Popper qui définit la démarche des scientifiques par le recours constant à des hypothèses audacieuses – les plus insolites sont les meilleures parce qu’elles nous apprennent beaucoup plus. – Et c’est la communauté de chercheurs qui, par sa critique, permet d’établir un savoir provisoirement valable. Et nous, ne sommes-nous pas une communauté de chercheurs pédagogiques ? Alors, essayons, ou plutôt, essayez, parce que je ne travaille plus au niveau primaire.

À l’occasion de recherche de références pour mon bouquin « Le texte libre mathématique », (déjà traduit en allemand !), j’ai repris « le rationalisme appliqué » de Bachelard. Et j’ai trouvé des pages (de 83 à 99) qui avaient ravi tout un cahier de roulement. Allez-y absolument voir : ça vous enchantera de comprendre que « la somme des dromadaires construits sur les deux côtés est égale au dromadaire construit sur l’hypoténuse ».

Vous pourriez expérimenter mon idée que j’ai dû me contenter d’expérimenter dans ma tête.
Supposons que la question des angles se pose naturellement dans une classe. Et elle se posera nécessairement parce que toutes les droites ne sont pas parallèles. Alors pourquoi ne pas se mettre dans l’esprit, mais seulement comme un possible horizon, les cas d’égalité des triangles.

Attention, danger ! J’en vois déjà qui vont se précipiter. Pourquoi pas ? Là où nous en sommes, il y a deux points à considérer. Nous sommes en exploration sur les possibilités de notre « nouvelle » pédagogie. Mais nous pouvons l’être aussi sur la capacité d’apprentissage des enfants. Le premier point implique un certain retrait du maître. Le second, au contraire, postule une attitude de légère proposition. Je me la suis parfois autorisée, sans avoir jamais eu l’impression d’avoir eu à pousser. C’est venu comme ça. On était parfois si près que je me disais :
« Et pourquoi pas ? Qui sait ? Voyons voir ! »

Et sans avoir eu à manipuler, à exploiter, à vampiriser, à solliciter exagérément la situation, j’ai pu vérifier ce qui était parfaitement dans les cordes d’une moitié de mon CE2 : les additions de vecteurs, la relation de Chasles, les coordonnées cartésiennes, les droites y=ax, les puissances négatives de 2, les additions en binaire. J’en avais conclu que ce n’était pas là des domaines à négliger automatiquement mais à explorer par d’autres enfants, d’autres maîtres, d’autres classes pour qu’on établisse un premier pont de nos programmes naturels. Il n’y a que l’intersubjectivité qui puisse nous apporter une certaine assurance.

Bon, je vous propose ma piste. « I got a dream. » Dans ma tête j’ai vu une classe fonctionner. Voilà que les enfants s’intéressent spontanément aux angles. Évidemment ils les observent. Il y en a des aigus, des obtus, des ouverts, des plus fermés, des plats, des droits, etc. Mais quand un enfant dit :

« Ces deux-là sont pareils », ça fait tilt dans l’esprit du maître :
« Qu’est-ce que tu dis, Julie ?
– Ces deux-là sont pareils. »

Alors grosse discussion : comment savoir si c’est vrai qu’ils sont pareils. Sur quel critère prendrons-nous la décision de les reconnaître pour égaux ? Et si nous arrivons à en prendre une, nous aurons un outil de plus d’exploration du réel.

Pour l’instant, je pense que ma classe rêvée peut s’installer dans la vôtre. Mais est-ce que la mienne va en rester là ? Non, je la vois qui commence à utiliser ce nouvel instrument de pénétration du monde. Et elle débouche sur des triangles. Il y en a de toutes sortes : des petits, des penchés, des équilibrés. Mais cette fois encore, un enfant comparateur annonce :

« Ces deux-là sont pareils. »
Le maître se précipite :
« Est-ce que j’entends bien, Julien ? »

Là encore grosse discussion. Et on distingue vite les égaux des semblables. Mais sur quels critères déciderons-nous que certains sont égaux et d’autres semblables ?

Bon, d’accord, ça peut arriver, ça peut advenir chez vous aussi. Mais les 3 cas d’égalités, la similitude ? Là, je ne peux plus la rêver la classe. C’est à vous de voir. Non, c’est à vous d’entendre Juju qui dit :

« Moi, je sais quand ils sont égaux. » Si Juju est dans votre classe.

Écoutez les enfants sous cet angle. Non, entendez-les aussi sous cet angle.
Et vous sèmerez peut-être une graine de plus. Une graine à fort pouvoir germinatif en attente de très proches ou de lointains printemps.

Paul Le Bohec

Texte paru dans Naturellement math N°8, Mai 1992, p.11-12